Zadanie 1 (8 punktów)
Dane są dwie funkcje: f(x)=2x + 1 i g(x)= -2×2 –2x + 1.
a) Wyznacz współrzędne wspólnych punktów wykresów funkcji f i g.
b) Wyznacz te wartości r, dla których wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f i g należą do koła
(x – 1)2 + (y + 1)2 < (różne) r2 .
Dla najmniejszej wyznaczonej wartości r wykonaj rysunek przedstawiający to koło oraz wykresy funkcji f i g.
Zadanie 2 (10 punktów)
Dla m (różne) 0 i m (różne) – 2 dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an)
o trzech wyrazach początkowych 1/2(m2 + 2m),1/4 (m2 +2m), 1/8(m2 +2m).
a. Wyznacz te wartości m, dla których suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest dodatnia.
b. Wyznacz te wartości m, dla których suma trzech pierwszych wyrazów ciągu (an) jest o 1 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Zadanie 3 (10 punktów)
Punkty A=(1,2) i C=(5,6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD, którego pole wynosi 32.
a. Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C.
b. Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.
Zadanie 4 (10 punktów)
Ze zbioru wszystkich wierzchołków danego n-kąta foremnego o boku
długości a losujemy dwa różne wierzchołki przyjmując, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne.
Dla n=6 oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – odcinek, którego końcami są wylosowane wierzchołki jest bokiem danego wielokąta,
B – odcinek, którego końcami są wylosowane wierzchołki ma długość 2a.
Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia
C –wylosowane wierzchołki wyznaczają bok danego n-kąta jest mniejsze niż 1/10 ?
Zadanie 5 (12 punktów)
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o podstawie ABC i wierzchołku S, (12 punktów) krawędź boczna jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.
a. Wyznacz cosinus kąta (alfa), który tworzą ściany boczne tego ostrosłupa.
b. Wykaż, że miara kata (alfa) jest większa niż 60 stopni.
c. Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że krawędź podstawy a ma długość 6 cm.
